반대 관계, 소반대 관계, 모순 관계
(1) 모든 논리학자들은 착하다.
(2) 어느 논리학자도 착하지 않다.
(1)과 (2)는 동시에 참일 수 없다. 논리학자들이 동시에 착하면서 착하지 않을 수 없기 때문이다. 그렇지만 (1)과 (2)는 동시에 거짓일 수 있다. 일부의 논리학자들은 착하고 다른 일부의 논리학자들은 착하지 않을 경우에 (1)과 (2)는 동시에 거짓이다. 따라서 반대 관계는 부분적 대립 관계를 표현한다. 그렇다면 다음 두 문장들의 관계는 무엇인가?
(3) 어떤 논리학자들은 착하다.
(4) 어떤 논리학자들은 착하지 않다.
(3)과 (4)는 동시에 참일 수 있다. 따라서 (3)과 (4)는 반대 관계가 아니다. 그렇지만 동시에 거짓일 수는 없다. (3)이 거짓인 경우에 모든 논리학자들은 착하지 않다. (4)가 거짓인 경우에 모든 논리학자들은 착하다. 그러나 모든 논리학자들이 착하면서 동시에 착하지 않을 수는 없다. 이처럼 동시에 거짓일 수 없는 관계를 소반대 관계라고 부른다.
정의: X와 Y는 소반대 관계(subcontraries)이다 = df X와 Y는 동시에 거짓일 수 없다.
소반대 관계에 있는 두 문장들은 동시에 거짓일 수 없기 때문에 소반대 관계도 반대 관계와는 다른 방식이기는 하지만 부분적인 대립관계를 표현한다.
이제 다음 두 문장을 고려해 보자.
(1) 모든 논리학자들은 착하다.
(4) 어떤 논리학자들은 착하지 않다.
(1)과 (4)는 어떤 관계인가? (1)이 참인 경우에 (4)는 거짓이다. 그리고 (1)이 거짓인 경우에 (4)는 참이다. 즉 (1)과 (4)는 항상 서로 다른 진리값을 가진다. 이와 같은 전면적인 대립 관계를 '모순 관계'라고 부른다.
정의: X와 Y는 모순 관계(contradictories)이다 = df X와 Y는 항상 서로 다른 진리값을 가진다.
즉 X와 Y 중 하나가 참일 경우에 항상 다른 하나가 거짓이면, 양자는 모순 관계에 있다. 따라서 모순 관계에 있는 두 문장들은 동시에 참일 수도 없고 동시에 거짓일 수도 없다.
끝으로 다음 예들을 살펴보자.
(5) 포도주를 좋아하는 모든 재즈 연주자들은 샹송을 좋아한다.
(6) 포도주를 좋아하는 어느 재즈 연주자도 샹송을 좋아하지 않는다.
(7) 포도주를 좋아하는 어떤 재즈 연주자는 샹송을 좋아한다.
(8) 포도주를 좋아하는 어떤 재즈 연주자는 샹송을 좋아하지 않는다.
(5)와 (6)은 동시에 참일 수 없기 때문에 반대 관계이다. 또한 (7)과 (8)은 동시에 거짓일 수 없기 때문에 소반대 관계이다. 그리고 (5)와 (8은) 항상 서로 다른 진리값을 가지기 때문에 모순 관계이다. 마찬가지 이유에서 (6)과 (7)도 모순 관계이다.
<연습 문제 A> 다음 문장들은 서로 무슨 관계인가?
(1) 모든 판사들은 부유하다. 어느 판사도 부유하지 않다.
- 동시에 참일 수 없다.=>반대 관계
- 동시에 거짓일 수 있다.
(2) 어떤 판사들은 부유하다. 어떤 판사들은 부유하지 않다.
- 동시에 참일 수 있다.=>소반대 관계
(3) 그 클럽의 회원들은 어느 누구도 소년들이 아니다. 그 클럽의 어떤 회원들은 소년들이다.
- 동시에 참일 수 없다.
- 두 문장은 항상 서로 다른 진리값을 가진다.=> 모순 관계
(4) 어느 논리학자도 음악가가 아니다. 모든 논리학자들은 음악가이다.
반대 관계
(5) 모든 유행들은 상업적 선전의 산물이다. 어떤 유행들은 상업적 선전의 산물이 아니다.
- 모순 관계
(6) 크롬을 포함하지 않은 어떤 보석도 에메랄드가 아니다. 크롬을 포함하지 않은 모든 보석들은 에메랄드이다.
- 반대 관계
(7) 모든 성공적인 중역들은 지성적인 사람들이다. 어느 성공적인 중역도 지성적이지 않다.
- 반대 관계
(8) 어느 시인도 게으름뱅이가 아니다. 어떤 시인들은 게으름뱅이들이다.
- 모순 관계
(9) 어떤 우라늄 동위원소들은 매우 불안정한 원소이다. 모든 우라늄 동위원소들은 매우 불안정한 원소이다.
- 어느 것도 아님(함축 관계)
(10) 뿔이 있는 어떤 동물도 육식성이 아니다. 뿔이 있는 어떤 동물들은 육식성이다.
- 모순 관계
(11) 서울에 살면서 산을 좋아하는 모든 논리학자들은 예술 애호가이다. 서울에 살면서 산을 좋아하는 어떤 논리학자도 예술 애호가가 아니다.
- 반대 관계
<연습 문제 B>
'정확히 10개의 행성들이 있다'라는 문장의 부정문은 무엇인가? 다시 말해서 어떤 문장이 이 진술에 대해 모순 관계에 있는 문장인가?
- '정확히 10개의 행성들이 있는 것은 아니다.'
(2) 어느 논리학자도 착하지 않다.
(1)과 (2)는 동시에 참일 수 없다. 논리학자들이 동시에 착하면서 착하지 않을 수 없기 때문이다. 그렇지만 (1)과 (2)는 동시에 거짓일 수 있다. 일부의 논리학자들은 착하고 다른 일부의 논리학자들은 착하지 않을 경우에 (1)과 (2)는 동시에 거짓이다. 따라서 반대 관계는 부분적 대립 관계를 표현한다. 그렇다면 다음 두 문장들의 관계는 무엇인가?
(3) 어떤 논리학자들은 착하다.
(4) 어떤 논리학자들은 착하지 않다.
(3)과 (4)는 동시에 참일 수 있다. 따라서 (3)과 (4)는 반대 관계가 아니다. 그렇지만 동시에 거짓일 수는 없다. (3)이 거짓인 경우에 모든 논리학자들은 착하지 않다. (4)가 거짓인 경우에 모든 논리학자들은 착하다. 그러나 모든 논리학자들이 착하면서 동시에 착하지 않을 수는 없다. 이처럼 동시에 거짓일 수 없는 관계를 소반대 관계라고 부른다.
정의: X와 Y는 소반대 관계(subcontraries)이다 = df X와 Y는 동시에 거짓일 수 없다.
소반대 관계에 있는 두 문장들은 동시에 거짓일 수 없기 때문에 소반대 관계도 반대 관계와는 다른 방식이기는 하지만 부분적인 대립관계를 표현한다.
이제 다음 두 문장을 고려해 보자.
(1) 모든 논리학자들은 착하다.
(4) 어떤 논리학자들은 착하지 않다.
(1)과 (4)는 어떤 관계인가? (1)이 참인 경우에 (4)는 거짓이다. 그리고 (1)이 거짓인 경우에 (4)는 참이다. 즉 (1)과 (4)는 항상 서로 다른 진리값을 가진다. 이와 같은 전면적인 대립 관계를 '모순 관계'라고 부른다.
정의: X와 Y는 모순 관계(contradictories)이다 = df X와 Y는 항상 서로 다른 진리값을 가진다.
즉 X와 Y 중 하나가 참일 경우에 항상 다른 하나가 거짓이면, 양자는 모순 관계에 있다. 따라서 모순 관계에 있는 두 문장들은 동시에 참일 수도 없고 동시에 거짓일 수도 없다.
끝으로 다음 예들을 살펴보자.
(5) 포도주를 좋아하는 모든 재즈 연주자들은 샹송을 좋아한다.
(6) 포도주를 좋아하는 어느 재즈 연주자도 샹송을 좋아하지 않는다.
(7) 포도주를 좋아하는 어떤 재즈 연주자는 샹송을 좋아한다.
(8) 포도주를 좋아하는 어떤 재즈 연주자는 샹송을 좋아하지 않는다.
(5)와 (6)은 동시에 참일 수 없기 때문에 반대 관계이다. 또한 (7)과 (8)은 동시에 거짓일 수 없기 때문에 소반대 관계이다. 그리고 (5)와 (8은) 항상 서로 다른 진리값을 가지기 때문에 모순 관계이다. 마찬가지 이유에서 (6)과 (7)도 모순 관계이다.
<연습 문제 A> 다음 문장들은 서로 무슨 관계인가?
(1) 모든 판사들은 부유하다. 어느 판사도 부유하지 않다.
- 동시에 참일 수 없다.=>반대 관계
- 동시에 거짓일 수 있다.
(2) 어떤 판사들은 부유하다. 어떤 판사들은 부유하지 않다.
- 동시에 참일 수 있다.=>소반대 관계
(3) 그 클럽의 회원들은 어느 누구도 소년들이 아니다. 그 클럽의 어떤 회원들은 소년들이다.
- 동시에 참일 수 없다.
- 두 문장은 항상 서로 다른 진리값을 가진다.=> 모순 관계
(4) 어느 논리학자도 음악가가 아니다. 모든 논리학자들은 음악가이다.
반대 관계
(5) 모든 유행들은 상업적 선전의 산물이다. 어떤 유행들은 상업적 선전의 산물이 아니다.
- 모순 관계
(6) 크롬을 포함하지 않은 어떤 보석도 에메랄드가 아니다. 크롬을 포함하지 않은 모든 보석들은 에메랄드이다.
- 반대 관계
(7) 모든 성공적인 중역들은 지성적인 사람들이다. 어느 성공적인 중역도 지성적이지 않다.
- 반대 관계
(8) 어느 시인도 게으름뱅이가 아니다. 어떤 시인들은 게으름뱅이들이다.
- 모순 관계
(9) 어떤 우라늄 동위원소들은 매우 불안정한 원소이다. 모든 우라늄 동위원소들은 매우 불안정한 원소이다.
- 어느 것도 아님(함축 관계)
(10) 뿔이 있는 어떤 동물도 육식성이 아니다. 뿔이 있는 어떤 동물들은 육식성이다.
- 모순 관계
(11) 서울에 살면서 산을 좋아하는 모든 논리학자들은 예술 애호가이다. 서울에 살면서 산을 좋아하는 어떤 논리학자도 예술 애호가가 아니다.
- 반대 관계
<연습 문제 B>
'정확히 10개의 행성들이 있다'라는 문장의 부정문은 무엇인가? 다시 말해서 어떤 문장이 이 진술에 대해 모순 관계에 있는 문장인가?
- '정확히 10개의 행성들이 있는 것은 아니다.'
정확히 10개의 행성들이 없다.
답글삭제감사합니다.
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